В3. В треугольнике АВС стороны ВС и АС равны, угол равен 112°. Биссектрисы углов А и В пересекаются в точке Найдите величину угла AMB.

Решение:

В треугольнике ABC \( BC = AC \), значит, треугольник ABC равнобедренный. Углы при основании AB равны: \( ∠A = ∠B \).

Угол при вершине C равен \( 112^{\circ} \).

Сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \), поэтому \( ∠A + ∠B + ∠C = 180^{\circ} \).

\( 2∠A + 112^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( 2∠A = 180^{\circ} - 112^{\circ} \)

\( 2∠A = 68^{\circ} \)

\( ∠A = 34^{\circ} \)

Так как \( ∠A = ∠B \), то \( ∠B = 34^{\circ} \).

AM — биссектриса угла A, BM — биссектриса угла B.

Биссектриса делит угол пополам:

\( ∠MAB = \frac{1}{2} ∠A = \frac{1}{2} \times 34^{\circ} = 17^{\circ} \)

\( ∠MBA = \frac{1}{2} ∠B = \frac{1}{2} \times 34^{\circ} = 17^{\circ} \)

Рассмотрим треугольник AMB. Сумма его углов равна \( 180^{\circ} \):

\( ∠AMB + ∠MAB + ∠MBA = 180^{\circ} \)

\( ∠AMB + 17^{\circ} + 17^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( ∠AMB + 34^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( ∠AMB = 180^{\circ} - 34^{\circ} \)

\( ∠AMB = 146^{\circ} \)

Ответ: 146°.