Вариант 22 1. Дайте определение квадрата. 2. Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам. 3.В прямоугольном треугольнике АВС угол А равен 45°; Е середина АВ. Через точку Е проведена прямая, параллельная АС, которые пересекает ВС в точке F, EF=10 см. Найдите ВС.

Вариант 22

1. Дайте определение квадрата.

Квадрат - это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Ответ: Квадрат - это прямоугольник, у которого все стороны равны.

2. Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Доказательство:

Пусть дан ромб ABCD. Диагонали ромба пересекаются в точке O.

Рассмотрим треугольники ABO и CBO. AB = BC (по определению ромба), AO = OC (диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам), BO - общая сторона.

Следовательно, треугольники ABO и CBO равны по трем сторонам.

Следовательно, угол ABO = угол CBO, угол AOB = угол COB.

Т.к. угол AOB + угол COB = 180°, то угол AOB = угол COB = 90°.

Следовательно, диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Ответ: Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

3. В прямоугольном треугольнике АВС угол А равен 45°; Е середина АВ. Через точку Е проведена прямая, параллельная АС, которые пересекает ВС в точке F, EF=10 см. Найдите ВС.

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, угол C = 90°, угол A = 45°, E - середина AB, EF || AC, F лежит на BC, EF = 10 см.

Найти BC.

Т.к. EF || AC, то треугольник EBF подобен треугольнику ABC.

Т.к. E - середина AB, то EF - средняя линия треугольника ABC.

EF = 1/2 AC

AC = 2 * EF = 2 * 10 = 20 см

Т.к. угол A = 45°, то угол B = 45°.

Следовательно, треугольник ABC - равнобедренный, AC = BC = 20 см.

Ответ: 20 см