Вариант 22 1. Дайте определение квадрата. 2. Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам. 3.В прямоугольном треугольнике АВС угол А равен 45°; Е – середина АВ. Через точку Е проведена прямая, параллельная АС, которые пересекает ВС в точке F, EF=10 см. Найдите ВС.

Вариант 22

1. Дайте определение квадрата.

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Ответ: Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

2. Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Пусть ABCD - ромб. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Так как ромб является параллелограммом, то его диагонали точкой пересечения делятся пополам. То есть AO = OC, BO = OD. Так как ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны, то AB = BC. Тогда треугольники ABO и CBO равны по трем сторонам (AB = BC, AO = OC, BO - общая сторона). Из равенства треугольников следует равенство углов. Угол ABO = угол CBO, следовательно, диагональ BD делит угол ABC пополам.

Аналогично, AC делит угол BAD пополам.

Рассмотрим треугольники AOB и BOC. Они равны, следовательно, углы AOB и BOC равны. Сумма углов AOB и BOC равна 180 градусов (смежные углы). Значит, угол AOB = угол BOC = 90 градусов.

То есть диагонали ромба перпендикулярны.

Ответ: Доказательство приведено выше.

3. В прямоугольном треугольнике ABC угол A равен 45°; E – середина AB. Через точку E проведена прямая, параллельная AC, которые пересекает BC в точке F, EF=10 см. Найдите BC.

Решение:

Так как EF || AC, то треугольник EBF подобен треугольнику ABC. Угол A = 45°, угол C = 90°, тогда угол B = 180° - 90° - 45° = 45°. Следовательно, треугольник ABC - равнобедренный прямоугольный треугольник (AC = BC).

Так как E - середина AB, то AE = EB. EF - средняя линия треугольника ABC. Тогда AC = 2 * EF = 2 * 10 = 20 см.

Тогда BC = AC = 20 см.

Ответ: 20 см