Вариант 2, задача 2. АВ и CD пересекаются в точке О. Найдите угол САО и отношение площадей треугольников BOD и АОС, если АО = 12 см, ВО = 4 см, СО = 30 см, DO = 10 см, \(\angle DBO = 61^\circ\).

1. Рассмотрим треугольники \(\triangle BOC\) и \(\triangle AOD\). \(\frac{AO}{BO} = \frac{12}{4} = 3\) \(\frac{CO}{DO} = \frac{30}{10} = 3\) Значит, \(\frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO}\). \(\angle AOD = \angle BOC\) как вертикальные. Следовательно, \(\triangle BOC \sim \triangle AOD\) (по двум сторонам и углу между ними). 2. Тогда \(\angle CAO = \angle DBO = 61^\circ\). 3. Так как \(\triangle BOC \sim \triangle AOD\), то \(\frac{S_{BOC}}{S_{AOD}} = (\frac{BO}{AO})^2 = (\frac{4}{12})^2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}\). 4. Отношение площадей \(\triangle BOD\) и \(\triangle AOC\). Т.к. \(\frac{AO}{BO} = 3 \Rightarrow AO = 3BO\) и \(\frac{DO}{CO} = \frac{1}{3} \Rightarrow CO = 3DO\) Площадь треугольника можно вычислить как \(S = \frac{1}{2}ab \cdot sin(\alpha)\) Тогда \(S_{AOC} = \frac{1}{2}AO \cdot CO \cdot sin(\angle AOC) = \frac{1}{2} \cdot 3BO \cdot 3DO \cdot sin(\angle AOC)\) А площадь \(S_{BOD} = \frac{1}{2}BO \cdot DO \cdot sin(\angle BOD)\). Т.к. \(\angle AOC = \angle BOD\) как вертикальные, то \(\frac{S_{BOD}}{S_{AOC}} = \frac{\frac{1}{2}BO \cdot DO \cdot sin(\angle BOD)}{\frac{1}{2} \cdot 3BO \cdot 3DO \cdot sin(\angle AOC)} = \frac{1}{9}\)