Вариант 2, задача 4. В треугольнике ABC, АВ = 15 см, АС = 20 см, ВС = 32 см. На стороне АВ отложен отрезок AD = 9 см, а на стороне АС - отрезок АЕ = 12 см. Найдите DE и отношение площадей треугольников АВС и ADE.

1. Рассмотрим треугольники \(\triangle ADE\) и \(\triangle ABC\). \(\frac{AD}{AB} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}\) \(\frac{AE}{AC} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}\) Значит, \(\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}\). \(\angle A\) - общий. Следовательно, \(\triangle ADE \sim \triangle ABC\) (по двум сторонам и углу между ними). 2. Коэффициент подобия: \(k = \frac{AD}{AB} = \frac{3}{5}\). 3. Найдем DE: \(\frac{DE}{BC} = k\) \(\frac{DE}{32} = \frac{3}{5}\) \(DE = \frac{3}{5} \cdot 32 = 19.2\) см. 4. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \(\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}} = k^2 = (\frac{3}{5})^2 = \frac{9}{25}\)