Вариант 1. Задание 1. Какие из следующих утверждений верны? 1) Любые два прямоугольных треугольника подобны. 2) Стороны треугольника пропорциональны косинусам противолежащих углов. 3) Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8. 4) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Для решения этого задания, рассмотрим каждое утверждение: 1) Любые два прямоугольных треугольника подобны. Это верно, так как все прямоугольные треугольники имеют прямой угол (90 градусов), а для подобия достаточно равенства двух углов. Так как сумма углов треугольника равна 180 градусам, то два угла прямоугольного треугольника определяют третий угол. 2) Стороны треугольника пропорциональны косинусам противолежащих углов. Это неверно, так как стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов (теорема синусов). 3) Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8. Проверим это по теореме Пифагора: (a^2 + b^2 = c^2), где (a) и (b) - катеты, (c) - гипотенуза. Подставим известные значения: (6^2 + b^2 = 10^2), (36 + b^2 = 100), (b^2 = 100 - 36), (b^2 = 64), (b = sqrt{64}), (b = 8). Это утверждение верно. 4) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. Это неверная формулировка теоремы косинусов. Правильная формулировка: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Таким образом, верные утверждения: 1 и 3. Ответ: 13