Вариант 1. 1. Какова вероятность, что при бросании 12 раз игральной кости 4 очка выпадут ровно 4 раза?

Решение:

Эта задача относится к схеме Бернулли. Вероятность выпадения 4 очков при одном броске игральной кости равна \( \frac{1}{6} \).

• \( P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \)
• \( n = 12 \) (количество бросков)
• \( k = 4 \) (количество успешных исходов)
• \( p = \frac{1}{6} \) (вероятность успеха)
• \( 1-p = \frac{5}{6} \) (вероятность неудачи)

Подставляем значения:

• \( P(X=4) = C_{12}^4 \cdot (\frac{1}{6})^4 \cdot (\frac{5}{6})^{12-4} \)
• \( C_{12}^4 = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 495 \)
• \( P(X=4) = 495 \cdot (\frac{1}{6})^4 \cdot (\frac{5}{6})^8 \)
• \( P(X=4) = 495 \cdot \frac{1}{1296} \cdot \frac{390625}{1679616} \approx 0.02007 \)

Финальный ответ:

Ответ: Вероятность выпадения 4 очков ровно 4 раза при 12 бросках игральной кости составляет приблизительно 0.020.