Вариант 1. 2. Симметричную монету бросают 11 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»?

Решение:

Это задача на схему Бернулли. Вероятность выпадения орла (успех) при одном броске симметричной монеты равна \( p = 0.5 \), а вероятность выпадения решки (неудача) равна \( 1-p = 0.5 \).

Формула вероятности для схемы Бернулли: \( P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \), где \( n \) — число испытаний, \( k \) — число успехов.

Вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» (k=5, n=11):

• \( P(X=5) = C_{11}^5 \cdot (0.5)^5 \cdot (0.5)^{11-5} \)
• \( C_{11}^5 = \frac{11!}{5!(11-5)!} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 462 \)
• \( P(X=5) = 462 \cdot (0.5)^{11} \)

Вероятность события «выпадет ровно 4 орла» (k=4, n=11):

• \( P(X=4) = C_{11}^4 \cdot (0.5)^4 \cdot (0.5)^{11-4} \)
• \( C_{11}^4 = \frac{11!}{4!(11-4)!} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 330 \)
• \( P(X=4) = 330 \cdot (0.5)^{11} \)

Отношение вероятностей:

Чтобы узнать, во сколько раз одна вероятность больше другой, нужно разделить первую на вторую:

• \( \frac{P(X=5)}{P(X=4)} = \frac{462 \cdot (0.5)^{11}}{330 \cdot (0.5)^{11}} = \frac{462}{330} \)
• \( \frac{462}{330} = \frac{462 \div 66}{330 \div 66} = \frac{7}{5} = 1.4 \)

Финальный ответ:

Ответ: Вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» в 1.4 раза больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла».