Вариант 1. 3. Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень даётся не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно три мишени» больше вероятности события «стрелок поразит ровно две мишени»?

Решение:

Рассмотрим поражение одной мишени. На каждую мишень даётся не более двух выстрелов, и вероятность попадания при каждом выстреле равна \( p = 0.6 \). Успехом считается поражение мишени.

Вероятность поразить мишень первым выстрелом: \( P(\text{попал}) = 0.6 \).

Вероятность промахнуться первым выстрелом: \( P(\text{промах}) = 1 - 0.6 = 0.4 \).

Если первый выстрел промах, то второй выстрел гарантирует поражение мишени (так как дается не более двух выстрелов, и если первый промах, то второй делается обязательно, и он поражает мишень, иначе не было бы условия "не более двух выстрелов"). Но по условию "вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0.6". Это значит, что второй выстрел также имеет вероятность 0.6 поразить мишень. Следовательно, вероятность поразить мишень, если первый выстрел был промахом, это вероятность промаха первым и попадания вторым: \( 0.4 \times 0.6 = 0.24 \).

Вероятность поразить мишень хотя бы одним выстрелом (успех в рамках одной мишени):

• \( P(\text{успех}) = P(\text{попал первым}) + P(\text{промах первым и попал вторым}) \)
• \( P(\text{успех}) = 0.6 + (0.4 \times 0.6) = 0.6 + 0.24 = 0.84 \).

Теперь у нас есть 5 независимых испытаний (стрельба по 5 мишеням), где вероятность успеха (поражение мишени) равна \( P = 0.84 \).

Эта задача также сводится к схеме Бернулли, где \( n=5 \).

Вероятность события «стрелок поразит ровно 3 мишени» (k=3):

• \( P(X=3) = C_5^3 ∙ (0.84)^3 ∙ (1-0.84)^{5-3} \)
• \( C_5^3 = \frac{5!}{3!2!} = 10 \)
• \( P(X=3) = 10 ∙ (0.84)^3 ∙ (0.16)^2 \)
• \( P(X=3) = 10 ∙ 0.592704 ∙ 0.0256 ∙ 0.1517 \)

Вероятность события «стрелок поразит ровно 2 мишени» (k=2):

• \( P(X=2) = C_5^2 ∙ (0.84)^2 ∙ (1-0.84)^{5-2} \)
• \( C_5^2 = \frac{5!}{2!3!} = 10 \)
• \( P(X=2) = 10 ∙ (0.84)^2 ∙ (0.16)^3 \)
• \( P(X=2) = 10 ∙ 0.7056 ∙ 0.004096 ∙ 0.0289 \)

Отношение вероятностей:

Чтобы узнать, во сколько раз одна вероятность больше другой, нужно разделить первую на вторую:

• \( \frac{P(X=3)}{P(X=2)} = \frac{0.1517}{0.0289} ∙ 5.249 \)

Финальный ответ:

Ответ: Вероятность события «стрелок поразит ровно три мишени» приблизительно в 5.25 раза больше вероятности события «стрелок поразит ровно две мишени».