Вариант 2. 2. Симметричную монету бросают 12 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 4 орла» меньше вероятности события «выпадет ровно 5 орлов»?

Решение:

Эта задача решается по формуле Бернулли. Для симметричной монеты вероятность выпадения орла (успеха) \( p = 0.5 \), и вероятность выпадения решки (неудачи) \( q = 0.5 \). Количество испытаний \( n = 12 \).

Формула Бернулли: \( P(X=k) = C_n^k ∙ p^k ∙ q^{n-k} \).

Вероятность события «выпадет ровно 4 орла» (k=4):

• \( P(X=4) = C_{12}^4 ∙ (0.5)^4 ∙ (0.5)^{12-4} \)
• \( C_{12}^4 = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12 ∙ 11 ∙ 10 ∙ 9}{4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1} = 495 \)
• \( P(X=4) = 495 ∙ (0.5)^{12} \)

Вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» (k=5):

• \( P(X=5) = C_{12}^5 ∙ (0.5)^5 ∙ (0.5)^{12-5} \)
• \( C_{12}^5 = \frac{12!}{5!(12-5)!} = \frac{12!}{5!7!} = \frac{12 ∙ 11 ∙ 10 ∙ 9 ∙ 8}{5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1} = 792 \)
• \( P(X=5) = 792 ∙ (0.5)^{12} \)

Отношение вероятностей:

Чтобы узнать, во сколько раз одна вероятность меньше другой, нужно разделить вероятность меньшего события на вероятность большего события. В данном случае, \( P(X=4) \) меньше, чем \( P(X=5) \), так как \( C_{12}^4 < C_{12}^5 \).

• \( \frac{P(X=4)}{P(X=5)} = \frac{495 ∙ (0.5)^{12}}{792 ∙ (0.5)^{12}} = \frac{495}{792} \)
• \( \frac{495}{792} = \frac{495 ÷ 99}{792 ÷ 99} = \frac{5}{8} = 0.625 \)

Финальный ответ:

Ответ: Вероятность события «выпадет ровно 4 орла» в 0.625 раза меньше вероятности события «выпадет ровно 5 орлов».