Вариант 2. 3. Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень даётся не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,8. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно пять мишеней» больше вероятности события «стрелок поразит ровно четыре мишени»?

Решение:

Сначала определим вероятность поражения одной мишени. Вероятность попадания при одном выстреле \( p = 0.8 \). Вероятность промаха \( q = 1 - 0.8 = 0.2 \). На каждую мишень дается не более двух выстрелов.

Есть два сценария поражения мишени:

1. Попадание первым выстрелом: \( P(\text{попал первым}) = 0.8 \).
2. Промах первым выстрелом и попадание вторым: \( P(\text{промах первым и попал вторым}) = q ∙ p = 0.2 ∙ 0.8 = 0.16 \).

Вероятность поразить одну мишень (успех в одном испытании) равна сумме вероятностей этих двух сценариев:

• \( P(\text{поразить мишень}) = P(\text{попал первым}) + P(\text{промах первым и попал вторым}) \)
• \( P(\text{поразить мишень}) = 0.8 + 0.16 = 0.96 \).

Теперь у нас есть 5 независимых испытаний (стрельба по 5 мишеням), где вероятность успеха (поражения мишени) равна \( P = 0.96 \). Используем схему Бернулли с \( n=5 \).

Вероятность события «стрелок поразит ровно 5 мишеней» (k=5):

• \( P(X=5) = C_5^5 ∙ (0.96)^5 ∙ (1-0.96)^{5-5} \)
• \( C_5^5 = 1 \)
• \( P(X=5) = 1 ∙ (0.96)^5 ∙ (0.04)^0 \)
• \( P(X=5) = (0.96)^5 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 0.7962624 \)

Вероятность события «стрелок поразит ровно 4 мишени» (k=4):

• \( P(X=4) = C_5^4 ∙ (0.96)^4 ∙ (1-0.96)^{5-4} \)
• \( C_5^4 = 5 \)
• \( P(X=4) = 5 ∙ (0.96)^4 ∙ (0.04)^1 \)
• \( P(X=4) = 5 ∙ 0.84934656 ∙ 0.04 \)
• \( P(X=4) = 5 ∙ 0.0339738624 ∙ 0.169869312 \)

Отношение вероятностей:

Чтобы узнать, во сколько раз вероятность поражения 5 мишеней больше вероятности поражения 4 мишеней, разделим \( P(X=5) \) на \( P(X=4) \):

• \( \frac{P(X=5)}{P(X=4)} = \frac{0.7962624}{0.169869312} ∙ 4.6875 \)

Финальный ответ:

Ответ: Вероятность события «стрелок поразит ровно пять мишеней» приблизительно в 4.688 раза больше вероятности события «стрелок поразит ровно четыре мишени».