Вариант 1. 1. Найдите углы равнобедренной трапеции, если один из них равен 62°. 2. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O. Найдите угол между диагоналями, если ∠ABO = 51°. 3. В параллелограмме KMNP проведена биссектриса угла K, которая пересекает сторону MN в точке E. а) Докажите, что треугольник KME равнобедренный. б) Найдите сторону KP, если ME = 9 см, а периметр параллелограмма равен 52 см.

1. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны, а соседние углы дополняют друг друга до 180°.

Если один угол равен 62°, соседний равен 180° − 62° = 118°. Поэтому углы трапеции: 62°, 62°, 118°, 118°.

2. Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому OA = OB. Треугольник AOB равнобедренный, значит, ∠BAO = ∠ABO = 51°.

Тогда ∠AOB = 180° − 51° − 51° = 78°. Это меньший угол между диагоналями.

3а. Так как KE — биссектриса, ∠MKE = ∠EKP. При этом EM ∥ KP, поэтому ∠EKP = ∠KEM. Следовательно, ∠MKE = ∠KEM, а противоположные этим углам стороны равны: ME = KM. Значит, треугольник KME равнобедренный.

3б. KM = ME = 9 см. Периметр параллелограмма равен 2(KM + KP), поэтому 52 = 2(9 + KP), откуда KP = 17 см.

Ответ: 1) 62°, 62°, 118°, 118°; 2) 78°; 3а) KM = ME, 3б) KP = 17 см.