Вариант 5. 1. Найдите углы прямоугольной трапеции, если один из её углов равен 20°. 2. Диагонали ромба KMNP пересекаются в точке O. Найдите углы треугольника KMO, если ∠MNP = 80°. 3. На стороне BC параллелограмма ABCD взята точка M так, что AB = BM. а) Докажите, что AM — биссектриса угла BAD. б) Найдите периметр параллелограмма, если известно, что CD = 8 см, CM = 4 см.

1. У прямоугольной трапеции два угла прямые. Два остальных угла в сумме дают 180°. Угол 20° не может быть прямым, поэтому второй непрямой угол равен 180° − 20° = 160°. Углы трапеции: 90°, 90°, 20° и 160°.

2. Противоположные углы ромба равны, поэтому ∠K = ∠MNP = 80°. Диагональ ромба делит угол пополам, значит, ∠MKO = 40°. Соседний угол ∠M = 180° − 80° = 100°, поэтому ∠KMO = 50°. Диагонали ромба перпендикулярны, значит, ∠KOM = 90°.

3а. Так как AB = BM, треугольник ABM равнобедренный, поэтому ∠BAM = ∠AMB. Поскольку BM лежит на BC, а AD ∥ BC, угол ∠AMB равен углу MAD. Следовательно, ∠BAM = ∠MAD, то есть AM — биссектриса угла BAD.

3б. В параллелограмме AB = CD = 8 см, следовательно, BM = 8 см. Так как M лежит на BC, BC = BM + CM = 8 + 4 = 12 см. Периметр равен 2(AB + BC) = 2(8 + 12) = 40 см.

Ответ: 1) 90°, 90°, 20°, 160°; 2) 40°, 50°, 90°; 3б) 40 см.