Вариант 6. 1. В выпуклом четырёхугольнике углы относятся как 3:9:1:2. Найдите углы четырёхугольника. 2. Диагонали ромба BCEF пересекаются в точке H. Угол CBH равен 35°. Найдите углы ромба. 3. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке G. а) Докажите, что треугольник ABG равен треугольнику DCG. б) Найдите стороны прямоугольника, если периметр равен 96 см, а сторона BC на 16 см больше AB.

1. Сумма частей отношения равна 3 + 9 + 1 + 2 = 15, поэтому на одну часть приходится 360°/15 = 24°. Углы по этому отношению должны были бы составить 72°, 216°, 24° и 48°. Но угол 216° больше 180°, а угол выпуклого четырёхугольника должен быть меньше 180°. Следовательно, такого выпуклого четырёхугольника не существует.

2. Диагональ ромба делит угол при вершине B пополам, поэтому ∠B = 2 · 35° = 70°. Противоположный угол равен 70°, а соседние углы равны 180° − 70° = 110°.

3а. Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому AG = DG и BG = CG. Противоположные стороны равны, значит, AB = DC. Следовательно, треугольники ABG и DCG равны по трём сторонам.

3б. Пусть AB = x см, тогда BC = x + 16 см. Из периметра получаем 2(x + x + 16) = 96, откуда 2x + 16 = 48 и x = 16. Значит, AB = 16 см, BC = 32 см.

Ответ: 1) такого выпуклого четырёхугольника нет; 2) 70°, 110°, 70°, 110°; 3б) 16 см и 32 см.