Вариант 3. 1. В выпуклом четырёхугольнике углы относятся как 4:2:1:5. Найдите углы четырёхугольника. 2. Диагонали ромба BCEF пересекаются в точке H. Угол CBH равен 42°. Найдите углы ромба. 3. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке G. а) Докажите, что треугольник ABG равен треугольнику DCG. б) Найдите стороны прямоугольника, если периметр равен 102 см, а сторона BC на 14 см больше AB.

1. Сумма углов четырёхугольника равна 360°. В сумме отношений 4 + 2 + 1 + 5 = 12 частей, поэтому одна часть равна 360°/12 = 30°. Углы, соответствующие данным отношениям: 120°, 60°, 30° и 150°.

2. Диагональ ромба делит угол при вершине пополам, поэтому ∠B = 2 · 42° = 84°. Противоположный угол тоже равен 84°, а два соседних угла равны 180° − 84° = 96°.

3а. Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому AG = DG и BG = CG. Кроме того, AB = DC как противоположные стороны прямоугольника. Следовательно, треугольники ABG и DCG равны по трём сторонам.

3б. Пусть AB = x см, тогда BC = x + 14 см. Из условия периметра: 2(x + x + 14) = 102. Тогда 2x + 14 = 51, x = 18,5. Значит, AB = 18,5 см, BC = 32,5 см.

Ответ: 1) 120°, 60°, 30°, 150°; 2) 84°, 96°, 84°, 96°; 3б) 18,5 см и 32,5 см.