Вариант 1. 1. Решите треугольник: а) a = 8, b = 5, ∠A = 65°; б) ∠C = 140°, ∠B = 20°, c = 15; в) a = 6, b = 8, c = 12.

Используем стандартные обозначения: стороны a, b, c лежат напротив углов A, B, C. Для вычислений применяем теорему синусов и теорему косинусов.

а) По теореме синусов \(\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{5\sin65°}{8}\), поэтому \(B\approx34.5°\). Второе значение синуса не подходит: вместе с углом \(A=65°\) сумма углов превысила бы \(180°\). Тогда \(C=180°-65°-34.5°\approx80.5°\), а \(c=\frac{8\sin80.5°}{\sin65°}\approx8.70\).

б) \(A=180°-140°-20°=20°\). По теореме синусов \(a=\frac{15\sin20°}{\sin140°}\approx7.98\), и так же \(b\approx7.98\).

в) По теореме косинусов: \(A=\arccos\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\approx27.7°\), \(B=\arccos\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\approx36.3°\), \(C=180°-A-B\approx116.0°\).

Ответ: а) \(B\approx34.5°\), \(C\approx80.5°\), \(c\approx8.70\); б) \(A=20°\), \(a=b\approx7.98\); в) \(A\approx27.7°\), \(B\approx36.3°\), \(C\approx116.0°\).