Вариант 1. 2. Найдите tg угла между прямой MA и плоскостью ABC, если в треугольнике ABC, AC=CB=8 см, угол ACB=120°, а точка M удалена от плоскости ABC на расстояние 12 и равноудалена от вершин A, B и C.

Пусть H — проекция точки M на плоскость ABC. Из равенства MA=MB=MC следует, что H равноудалена от A, B и C, то есть является центром описанной окружности треугольника.

Поскольку AC=BC=8 см, центр H лежит на биссектрисе угла C. В равнобедренном треугольнике с углом при вершине 120° длина основания AB равна 8√3, а радиус описанной окружности равен R=AB/(2 sin 120°)=8√3/√3=8 см. Следовательно, HA=8 см.

В прямоугольном треугольнике MHA высота MH=12 см, поэтому тангенс угла между MA и плоскостью равен отношению перпендикулярной составляющей к длине проекции HA: tg φ=MH/HA=12/8=3/2.

Ответ: tg φ=3/2.