Вариант 2. 3. В правильной треугольной пирамиде найдите tg угла между плоскостью основания пирамиды и её боковыми рёбрами, если высота пирамиды составляет 5/7 от высоты боковой грани.

Обозначим высоту пирамиды через h, высоту боковой грани через l, радиус вписанной окружности основания через r, а радиус описанной окружности через R. Для равностороннего основания R=2r.

В прямоугольном сечении боковой грани l²=h²+r². По условию h=5l/7, откуда r²=l²−h²=24l²/49, значит r=2√6·l/7 и R=4√6·l/7.

Тангенс угла между боковым ребром и плоскостью основания равен отношению высоты пирамиды к проекции бокового ребра на основание: tg φ=h/R=(5l/7)/(4√6·l/7)=5/(4√6)=5√6/24.

Ответ: tg φ=5√6/24.