Вариант 1. 3. В правильной треугольной пирамиде найдите tg угла между плоскостью основания пирамиды и её боковыми рёбрами, если высота пирамиды составляет 4/5 от высоты боковой грани.

Обозначим высоту пирамиды через h, высоту боковой грани через l, а расстояние от центра основания до его вершины через R. В сечении, проходящем через вершину пирамиды, центр основания и вершину основания, получаем прямоугольный треугольник. Проекция бокового ребра на основание равна R, а боковая высота l является высотой грани к стороне основания.

Для равностороннего основания расстояние от центра до вершины вдвое больше расстояния от центра до стороны: R=2r, где r — радиус вписанной окружности основания. Из прямоугольного сечения боковой грани следует l²=h²+r². По условию h=4l/5, поэтому r²=l²-h²=9l²/25, откуда r=3l/5 и R=6l/5.

Угол между боковым ребром и плоскостью основания имеет тангенс h/R. Значит, tg φ=(4l/5)/(6l/5)=2/3.

Ответ: tg φ=2/3.