Вариант 1. 2. Найдите величину двугранного угла при основании правильной четырехугольной пирамиды, если ее боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 60°.

Пусть O — центр квадратного основания, S — вершина пирамиды, а M — середина стороны основания. Высота SO перпендикулярна основанию. Проекция бокового ребра на основание — отрезок от вершины квадрата до O, длина которого равна \(a/\sqrt{2}\), где a — сторона квадрата.

Из угла наклона бокового ребра к основанию:

\[\tan 60^\circ=\frac{SO}{a/\sqrt{2}},\qquad SO=a\sqrt{\frac{3}{2}}.\]

Сечение плоскостью SOM перпендикулярно стороне основания показывает, что искомый двугранный угол δ удовлетворяет \(\tan\delta=SO/OM\). Так как \(OM=a/2\), получаем:

\[\tan\delta=\frac{a\sqrt{3/2}}{a/2}=\sqrt{6},\qquad \delta=\arctan\sqrt{6}\approx67.8^\circ.\]

Ответ: \(\arctan\sqrt{6}\approx67.8^\circ\).