Вариант 2. 2. Найдите величину двугранного угла при основании правильной четырехугольной пирамиды, если ее боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 30°.

Пусть O — центр квадратного основания, S — вершина пирамиды, а M — середина стороны основания. Высота SO перпендикулярна основанию. Если сторона квадрата равна a, то расстояние от O до вершины основания равно \(a/\sqrt{2}\).

Из угла наклона бокового ребра:

\[\tan 30^\circ=\frac{SO}{a/\sqrt{2}},\qquad SO=\frac{a}{\sqrt{6}}.\]

Сечение SOM перпендикулярно стороне основания, поэтому для искомого двугранного угла δ имеем \(\tan\delta=SO/OM\), где \(OM=a/2\):

\[\tan\delta=\frac{a/\sqrt{6}}{a/2}=\sqrt{\frac{2}{3}},\qquad \delta=\arctan\sqrt{\frac{2}{3}}\approx39.2^\circ.\]

Ответ: \(\arctan\sqrt{\frac{2}{3}}\approx39.2^\circ\).