Вариант 2. 3. Найдите боковое ребро правильной треугольной пирамиды, у которой площадь основания равна 27√3 см², а полная поверхность — 72√3 см².

Сначала найдём сторону a равностороннего основания из формулы площади:

\[\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=27\sqrt{3},\qquad a^2=108,\qquad a=6\sqrt{3}\text{ см}.\]

Боковая поверхность равна разности полной поверхности и площади основания:

\[S_{бок}=72\sqrt{3}-27\sqrt{3}=45\sqrt{3}\text{ см}^2.\]

Если l — апофема пирамиды, то \(S_{бок}=\frac{1}{2}\cdot3a\cdot l\). Следовательно:

\[45\sqrt{3}=\frac{3\cdot6\sqrt{3}}{2}l,\qquad l=5\text{ см}.\]

Боковое ребро x, апофема l и половина стороны основания образуют прямоугольный треугольник:

\[x=\sqrt{l^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2}=\sqrt{25+27}=2\sqrt{13}\text{ см}.\]

Ответ: \(2\sqrt{13}\) см.