Вариант 1. 3. Найдите боковое ребро правильной треугольной пирамиды, у которой боковая поверхность равна 60√3 см², а полная поверхность — 108√3 см².

Площадь основания равна разности полной и боковой поверхностей:

\[S_{осн}=108\sqrt{3}-60\sqrt{3}=48\sqrt{3}\text{ см}^2.\]

Пусть a — сторона равностороннего основания. Тогда \(\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=48\sqrt{3}\), откуда \(a=8\sqrt{3}\) см.

Обозначим апофему пирамиды через l. Для боковой поверхности правильной пирамиды \(S_{бок}=\frac{1}{2}\cdot3a\cdot l\). Поэтому:

\[60\sqrt{3}=\frac{3\cdot8\sqrt{3}}{2}l,\qquad l=5\text{ см}.\]

Апофема делит боковую грань пополам, поэтому боковое ребро x находится из прямоугольного треугольника с катетами l и \(a/2=4\sqrt{3}\) см:

\[x=\sqrt{l^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2}=\sqrt{25+48}=\sqrt{73}\text{ см}.\]

Ответ: \(\sqrt{73}\) см.