Вариант 1. № 23. Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 6 : 13 : 17. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 18.

Длины дуг, а значит и соответствующие им центральные углы, относятся как 6 : 13 : 17. Вписанные углы треугольника опираются на эти дуги, поэтому их отношения такие же. Стороны, лежащие напротив этих углов, относятся как синусы углов, а не как длины дуг: по приведённым данным нельзя считать стороны равными 6 : 13 : 17.

Углы равны \(36°\), \(78°\) и \(102°\). Меньшая сторона 18 лежит напротив угла 36°. По теореме синусов \(18=2R\sin36°\), поэтому \(R=9/\sin36°\approx15.31\).

Ответ: \(\frac{9}{\sin36°}\approx15.31\).