Вариант 2. № 23. Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 6 : 11 : 19. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 15.

Полуокружность соответствует 18 долям, поэтому дуги имеют меры \(60°\), \(110°\) и \(190°\). Вписанные углы треугольника равны половинам противоположных дуг: среди них один угол равен \(95°\), другой — \(55°\), а третий — \(30°\). Их сумма составляет \(180°\), но сторона напротив угла \(95°\) должна быть наибольшей. Отношение меньшей стороны к стороне напротив угла \(95°\) равно \(\sin30°/\sin95°\), а не отношению длин дуг.

При этом указанная меньшая сторона 15 должна лежать напротив угла 30°. По теореме синусов \(15=2R\sin30°\), следовательно, \(R=15\).

Ответ: 15.