Вариант 1. 3) Найти проекцию вектора а = АВ на вектор b = ВС, если известны координаты точек А(1, -4, 2), B(-2, -1, 1), C(2, 0, 1).

Краткое пояснение:

Для нахождения проекции вектора \( \vec{a} \) на вектор \( \vec{b} \), нам нужно вычислить эти векторы по координатам точек, а затем применить формулу проекции вектора.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Найдем вектор \( \vec{a} = \vec{AB} \). Вычтем координаты точки А из координат точки В: \( \vec{a} = (-2 - 1, -1 - (-4), 1 - 2) = (-3, 3, -1) \).
2. Шаг 2: Найдем вектор \( \vec{b} = \vec{BC} \). Вычтем координаты точки В из координат точки С: \( \vec{b} = (2 - (-2), 0 - (-1), 1 - 1) = (4, 1, 0) \).
3. Шаг 3: Найдем проекцию вектора \( \vec{a} \) на вектор \( \vec{b} \) по формуле: \( \text{пр}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} \).
4. Шаг 4: Вычислим скалярное произведение \( \vec{a} \cdot \vec{b} \): \( (-3)(4) + (3)(1) + (-1)(0) = -12 + 3 + 0 = -9 \).
5. Шаг 5: Вычислим модуль вектора \( \vec{b} \): \( |\vec{b}| = \sqrt{4^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 1 + 0} = \sqrt{17} \).
6. Шаг 6: Вычислим проекцию: \( \text{пр}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{-9}{\sqrt{17}} \).

Ответ: \( \frac{-9}{\sqrt{17}} \)