Вариант 2. 3) Найти проекцию вектора а = АВ на вектор Б = ВС, если известны координаты точек А(3, 2, 1), B(-5, -2, 6), C(4, 1, 0).

Краткое пояснение:

Чтобы найти проекцию вектора \( \vec{a} = \vec{AB} \) на вектор \( \vec{b} = \vec{BC} \), сначала найдем координаты этих векторов, а затем вычислим проекцию по формуле, используя скалярное произведение.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Найдем вектор \( \vec{a} = \vec{AB} \). Вычитаем координаты точки А из координат точки В: \( \vec{a} = (-5 - 3, -2 - 2, 6 - 1) = (-8, -4, 5) \).
2. Шаг 2: Найдем вектор \( \vec{b} = \vec{BC} \). Вычитаем координаты точки В из координат точки С: \( \vec{b} = (4 - (-5), 1 - (-2), 0 - 6) = (9, 3, -6) \).
3. Шаг 3: Найдем проекцию вектора \( \vec{a} \) на вектор \( \vec{b} \) по формуле: \( \text{пр}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} \).
4. Шаг 4: Вычислим скалярное произведение \( \vec{a} \cdot \vec{b} \): \( (-8)(9) + (-4)(3) + (5)(-6) = -72 - 12 - 30 = -114 \).
5. Шаг 5: Вычислим модуль вектора \( \vec{b} \): \( |\vec{b}| = \sqrt{9^2 + 3^2 + (-6)^2} = \sqrt{81 + 9 + 36} = \sqrt{126} \).
6. Шаг 6: Вычислим проекцию: \( \text{пр}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{-114}{\sqrt{126}} \). Можно упростить \( \sqrt{126} = \sqrt{9 \cdot 14} = 3\sqrt{14} \), тогда \( \text{пр}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{-114}{3\sqrt{14}} = \frac{-38}{\sqrt{14}} \).

Ответ: \( \frac{-114}{\sqrt{126}} \) или \( \frac{-38}{\sqrt{14}} \)