Вариант № 1. 3. Средняя плотность некоторой планеты равна средней плотности планеты Земля, а радиус планеты в 2 раза больше земного радиуса. Определите отношение первой космической скорости на планете к первой космической скорости на Земле vп/vз.

Первая космическая скорость равна \(v=\sqrt{\frac{GM}{R}}\). При одинаковой средней плотности масса пропорциональна кубу радиуса: \(M=\frac{4}{3}\pi\rho R^3\).

Подставим выражение массы: \(v=\sqrt{\frac{G(4\pi\rho R^3/3)}{R}}=R\sqrt{\frac{4\pi G\rho}{3}}\). Значит, при одинаковой плотности скорость пропорциональна радиусу.

Так как \(R_п=2R_з\), получаем \(\frac{v_п}{v_з}=\frac{R_п}{R_з}=2\).

Ответ: \(v_п/v_з=2\).