Вариант 1. 3) Точка B не лежит в плоскости △ADC. Точки M, N и P — середины отрезков BA, BC, BD соответственно. а) Доказать, что плоскости (MNP) и (ADC) параллельны; б) Найти площадь треугольника MNP, если S△ADC = 48 см².

а) В треугольнике BAC точки M и N — середины BA и BC, поэтому MN ∥ AC. В треугольнике BAD точки M и P — середины BA и BD, поэтому MP ∥ AD. Прямые MN и MP пересекаются в M и лежат в плоскости (MNP); прямые AC и AD пересекаются в A и лежат в плоскости (ADC). Поскольку две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой, плоскости (MNP) и (ADC) параллельны.

б) Треугольники MNP и ADC подобны с коэффициентом 1/2: соответствующие стороны соединяют середины рёбер с общей вершиной B. Площади подобных фигур относятся как квадраты коэффициента подобия:

\(S_{MNP}=48\cdot(1/2)^2=12\text{ см}^2.\)

Ответ: а) плоскости параллельны; б) 12 см².