Вариант 1. 3. Треугольник ABC равнобедренный с основанием AC. На сторонах AB и BC отмечены точки P и K так, что BP = BK. O — точка пересечения AK и CP. Докажите, что треугольник AOC равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике ABC ось симметрии проходит через вершину B и середину основания AC. Отражение относительно этой оси меняет местами A и C.

Точка P лежит на AB, а K — на BC; при этом \(BP = BK\). Поэтому отражение переводит P в K. Значит, прямая AK переходит в прямую CP.

Точка O — пересечение этих прямых. При отражении она переходит в точку пересечения тех же прямых, то есть в себя. Следовательно, O лежит на оси симметрии треугольника ABC и равноудалена от A и C: \(AO = CO\).

Ответ: \(AO = CO\), поэтому треугольник AOC равнобедренный.