Вариант 1. 4. Одна сторона треугольника на 8 см больше другой, а угол между ними равен 120°. Найдите радиус описанной около треугольника окружности, если его третья сторона равна 28 см.

Обозначим меньшую из двух сторон через \(x\), большую — через \(x+8\). По теореме косинусов для стороны 28 см:

\(28^2=x^2+(x+8)^2-2x(x+8)\cos120^\circ\).

Поскольку \(\cos120^\circ=-\frac12\), получаем \(784=2x^2+24x+64\), то есть \(x^2+12x-360=0\).

Положительный корень: \(x=-6+6\sqrt{11}\). Значит, стороны, образующие угол 120°, равны \(6(\sqrt{11}-1)\) см и \(6(\sqrt{11}+\frac13)\) см.

Площадь треугольника \(S=\frac12x(x+8)\sin120^\circ=\frac{\sqrt3}{4}x(x+8)\). Тогда \(R=\frac{28\cdot x\cdot(x+8)}{4S}=\frac{28}{\sqrt3}\) см.

Ответ: \(\frac{28\sqrt3}{3}\) см.