Вариант 1. 4. Точки M и K — середины рёбер A₁D₁ и DD₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁, ребро которого 6. Прямая MK пересекает плоскость ABC в точке L. Найдите длину отрезка LB.

Расположим куб в координатах: \(A=(0,0,0)\), \(D=(6,0,0)\), \(B=(0,6,0)\), а вертикальное направление зададим третьей координатой. Тогда \(A_1=(0,0,6)\), \(D_1=(6,0,6)\).

Середины рёбер: \(M=(3,0,6)\), \(K=(6,0,3)\). Прямая MK пересекает плоскость ABC, то есть плоскость \(z=0\), в точке \(L=(9,0,0)\).

Тогда \(LB=\sqrt{(9-0)^2+(0-6)^2}=\sqrt{117}=3\sqrt{13}\).

Ответ: \(3\sqrt{13}\).