Вариант 2. 5. Дана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁, все рёбра которой равны 12. Точка P — середина ребра A₁C₁. Постройте сечение призмы плоскостью BCP и найдите его периметр. Представьте найденный периметр в виде P = a + b√c, где c — простое число, и в ответе запишите значение a + b + c.

Точка P находится на ребре A₁C₁. Плоскость BCP содержит ребро BC и точку P; на верхнем основании она пересекает ребро A₁B₁ в точке R. Поскольку P — середина A₁C₁, а верхнее основание параллельно нижнему, R — середина A₁B₁. Сечение — четырёхугольник BCPR.

Пусть \(B=(0,0,0)\), \(C=(12,0,0)\), \(A=(6,6\sqrt3,0)\), а высота призмы равна 12. Тогда \(P=(9,3\sqrt3,12)\), \(R=(3,3\sqrt3,12)\).

Стороны: \(BC=12\), \(CP=\sqrt{3^2+(3\sqrt3)^2+12^2}=6\sqrt5\), \(PR=6\), \(RB=\sqrt{3^2+(3\sqrt3)^2+12^2}=6\sqrt5\). Поэтому \(P=18+12\sqrt5\).

Отсюда \(a=18\), \(b=12\), \(c=5\), и \(a+b+c=35\).

Ответ: 35.