Вариант 2. 4. Точки N и K — середины рёбер B₁C₁ и CC₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁, ребро которого 8. Прямая NK пересекает плоскость AA₁B₁ в точке Q. Найдите длину отрезка QC₁.

Зададим координаты куба: \(A=(0,0,0)\), \(D=(8,0,0)\), \(B=(0,8,0)\), вертикальное направление — третья координата. Тогда \(C=(8,8,0)\), \(B_1=(0,8,8)\), \(C_1=(8,8,8)\).

Середины указанных рёбер: \(N=(4,8,8)\), \(K=(8,8,4)\). Прямая NK лежит в плоскости \(y=8\), тогда как плоскость AA₁B₁ имеет уравнение \(x=0\). Их пересечение — точка \(Q=(0,8,12)\).

\(QC_1=\sqrt{(8-0)^2+(8-8)^2+(8-12)^2}=\sqrt{80}=4\sqrt5\).

Ответ: \(4\sqrt5\).