Вариант 1. 4. В единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите: а) угол между прямыми BD₁ и DC₁; б) расстояние от точки B до плоскости (DA₁C₁).

Зададим координаты вершин единичного куба: A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(1; 1; 0), D(0; 1; 0), A₁(0; 0; 1), B₁(1; 0; 1), C₁(1; 1; 1), D₁(0; 1; 1).

а) Направляющие векторы прямых: BD₁ = (−1; 1; 1), DC₁ = (1; 0; 1). Их скалярное произведение равно −1 + 0 + 1 = 0, значит, прямые перпендикулярны. Угол между ними равен 90°.

б) В плоскости (DA₁C₁) лежат векторы DA₁ = (0; −1; 1) и DC₁ = (1; 0; 1). Их векторное произведение можно взять нормалью к плоскости: n = (−1; 1; 1). По формуле расстояния от B до плоскости, проходящей через D:

d = |n · (B − D)| / |n| = |(−1; 1; 1) · (1; −1; 0)| / √3 = 2/√3.

Ответ: а) 90°; б) 2/√3.