Вариант 2. 4. В единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите: а) угол между прямыми AC₁ и B₁C; б) расстояние от точки A до плоскости (BDC₁).

Возьмём координаты вершин единичного куба: A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(1; 1; 0), D(0; 1; 0), A₁(0; 0; 1), B₁(1; 0; 1), C₁(1; 1; 1), D₁(0; 1; 1).

а) Направляющие векторы: AC₁ = (1; 1; 1), B₁C = (0; 1; −1). Их скалярное произведение равно 0 + 1 − 1 = 0, поэтому прямые перпендикулярны. Угол между ними равен 90°.

б) Векторы BD = (−1; 1; 0) и BC₁ = (0; 1; 1) задают плоскость (BDC₁). Их векторное произведение — нормаль n = (1; 1; −1). Расстояние от A до плоскости, проходящей через B:

d = |n · (A − B)| / |n| = |(1; 1; −1) · (−1; 0; 0)| / √3 = 1/√3.

Ответ: а) 90°; б) 1/√3.