Вариант 1. №5. Даны координаты трех вершин прямоугольника АBCD: B(-2; -4), C(2; 4) и D(2; 2). 1) Постройте этот прямоугольник. 2) Найдите координаты вершины А и координаты точки пересечения диагоналей. 3) Вычислите площадь и периметр этого прямоугольника, считая, что длина единичного отрезка равна 1 см.

Решение:

1. Построение прямоугольника:
• На координатной плоскости отмечаем точки B(-2; -4), C(2; 4) и D(2; 2).
• Так как ABCD — прямоугольник, стороны AB и CD параллельны оси ординат, а стороны BC и AD параллельны оси абсцисс.
• Сторона CD параллельна оси ординат, значит, x-координаты точек C и D должны быть одинаковыми (что верно: 2 и 2).
• Сторона AD должна быть параллельна оси абсцисс, значит, y-координаты точек A и D должны быть одинаковыми. У точки D y = 2, следовательно, у точки А y = 2.
• Сторона AB должна быть параллельна оси ординат, значит, x-координаты точек A и B должны быть одинаковыми. У точки B x = -2, следовательно, у точки А x = -2.
• Таким образом, координаты вершины А: (-2; 2).
2. Координаты точки пересечения диагоналей:
• Диагонали прямоугольника пересекаются в точке, которая является серединой каждой диагонали. Найдем середину диагонали AC.
• Координаты середины отрезка (x_m, y_m):
• \[ x_m = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{-2 + 2}{2} = \frac{0}{2} = 0 \]
• \[ y_m = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]
• Координаты точки пересечения диагоналей: (0; 3).
3. Площадь и периметр прямоугольника:
• Найдем длины сторон прямоугольника.
• Длина стороны AD (параллельна оси абсцисс):
• \[ AD = |x_D - x_A| = |2 - (-2)| = |4| = 4 \]
• Длина стороны CD (параллельна оси ординат):
• \[ CD = |y_C - y_D| = |4 - 2| = |2| = 2 \]
• Площадь прямоугольника:
• \[ S = AD \cdot CD = 4 \cdot 2 = 8 \]
• Периметр прямоугольника:
• \[ P = 2(AD + CD) = 2(4 + 2) = 2(6) = 12 \]

Ответ:

1. Координаты вершины А: (-2; 2).
2. Координаты точки пересечения диагоналей: (0; 3).
3. Площадь прямоугольника: 8 см². Периметр прямоугольника: 12 см.