Вариант 2. №5. Даны координаты трех вершин прямоугольника ABCD: A(-4; -5), C(4; 5) и D(-4; 5). 1) Постройте этот прямоугольник. 2) Найдите координаты вершины В и координаты точки пересечения диагоналей. 3) Вычислите площадь и периметр этого прямоугольника, считая, что длина единичного отрезка равна 1 см.

Решение:

1. Построение прямоугольника:
   Отметим точки A(-4; -5), C(4; 5), D(-4; 5) на координатной плоскости. Заметим, что у точек A и D совпадают x-координаты (-4), значит, AD - вертикальная сторона. У точек C и D совпадают y-координаты (5), значит, CD - горизонтальная сторона. Следовательно, угол ADC - прямой.
2. Нахождение вершины B:
   Чтобы ABCD был прямоугольником, вектор AB должен быть равен вектору DC, и вектор BC должен быть равен вектору AD.
   Вектор DC = (4 - (-4); 5 - 5) = (8; 0).
   Пусть координаты B = (x; y). Тогда вектор AB = (x - (-4); y - (-5)) = (x + 4; y + 5).
   Приравнивая векторы AB и DC: x + 4 = 8 => x = 4; y + 5 = 0 => y = -5.
   Следовательно, координаты вершины B: (4; -5).
3. Нахождение точки пересечения диагоналей:
   Точка пересечения диагоналей прямоугольника является серединой любой из диагоналей (например, AC или BD).
   Найдем середину диагонали AC:
   \[ M = \left( \frac{x_A + x_C}{2}; \frac{y_A + y_C}{2} \right) = \left( \frac{-4 + 4}{2}; \frac{-5 + 5}{2} \right) = \left( \frac{0}{2}; \frac{0}{2} \right) = (0; 0) \]
   Координаты точки пересечения диагоналей: (0; 0) (начало координат).
4. Вычисление площади и периметра:
   Длина стороны AD:
   \[ AD = \sqrt{(-4 - (-4))^2 + (5 - (-5))^2} = \sqrt{0^2 + 10^2} = 10 \] (единиц).
   Длина стороны CD:
   \[ CD = \sqrt{(4 - (-4))^2 + (5 - 5)^2} = \sqrt{8^2 + 0^2} = 8 \] (единиц).
   Площадь прямоугольника:
   \[ S = AD \times CD = 10 \times 8 = 80 \] (квадратных единиц).
   Периметр прямоугольника:
   \[ P = 2(AD + CD) = 2(10 + 8) = 2(18) = 36 \] (единиц).
   Если длина единичного отрезка равна 1 см, то:
   Площадь: 80 см².
   Периметр: 36 см.

Итог:
Координаты вершины B: (4; -5).
Координаты точки пересечения диагоналей: (0; 0).
Площадь прямоугольника: 80 см².
Периметр прямоугольника: 36 см.