Вариант 2. №5. Даны координаты трех вершин прямоугольника ABCD: A(-4; -5), C(4; 5) и D(-4; 5). 1) Постройте этот прямоугольник. 2) Найдите координаты вершины В и координаты точки пересечения диагоналей. 3) Вычислите площадь и периметр этого прямоугольника, считая, что длина единичного отрезка равна 1 см.

Решение:

1. Построение прямоугольника:
• Отмечаем на координатной плоскости точки A(-4; -5), C(4; 5) и D(-4; 5).
• Стороны AD и BC параллельны оси ординат, так как x-координаты точек A и D одинаковы (-4), и x-координаты точек B и C должны быть одинаковы.
• Стороны AB и DC параллельны оси абсцисс, так как y-координаты точек D и C одинаковы (5), и y-координаты точек A и B должны быть одинаковы.
• У точки D y = 5, значит, у точки C y = 5 (что верно).
• У точки A y = -5, значит, у точки B y = -5.
• У точки A x = -4, значит, у точки B x = -4.
• Таким образом, координаты вершины B: (-4; -5).
2. Координаты точки пересечения диагоналей:
• Найдем середину диагонали AC.
• \[ x_m = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{-4 + 4}{2} = \frac{0}{2} = 0 \]
• \[ y_m = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{-5 + 5}{2} = \frac{0}{2} = 0 \]
• Координаты точки пересечения диагоналей: (0; 0).
3. Площадь и периметр прямоугольника:
• Длина стороны AD (параллельна оси ординат):
• \[ AD = |y_D - y_A| = |5 - (-5)| = |10| = 10 \]
• Длина стороны CD (параллельна оси абсцисс):
• \[ CD = |x_C - x_D| = |4 - (-4)| = |8| = 8 \]
• Площадь прямоугольника:
• \[ S = AD \cdot CD = 10 \cdot 8 = 80 \]
• Периметр прямоугольника:
• \[ P = 2(AD + CD) = 2(10 + 8) = 2(18) = 36 \]

Ответ:

1. Координаты вершины B: (-4; -5).
2. Координаты точки пересечения диагоналей: (0; 0).
3. Площадь прямоугольника: 80 см². Периметр прямоугольника: 36 см.