Вариант 1. 5. (Дополнительное задание.) При каком значении p прямая y = −2x + p имеет с параболой y = x² + 2x ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки.

Приравняем выражения для y: x² + 2x = −2x + p, откуда x² + 4x − p = 0. Чтобы прямая имела с параболой ровно одну общую точку, квадратное уравнение должно иметь один корень: D = 4² − 4 · 1 · (−p) = 16 + 4p = 0. Следовательно, p = −4.

Тогда x² + 4x + 4 = 0, то есть (x + 2)² = 0 и x = −2. Подстановка в параболу даёт y = (−2)² + 2 · (−2) = 0.

Ответ: p = −4; общая точка (−2; 0).