Вариант 1. 5. Найдите числа \(a\) и \(b\), если при всех допустимых значениях переменной \(x\) выполнено равенство \(\dfrac{4x-1}{(x+2)(2x+1)}=\dfrac{a}{x+2}+\dfrac{b}{2x+1}\).

Приведём правую часть к общему знаменателю:

\[\frac{a(2x+1)+b(x+2)}{(x+2)(2x+1)}=\frac{(2a+b)x+(a+2b)}{(x+2)(2x+1)}.\]

Приравниваем коэффициенты числителей: \(2a+b=4\), \(a+2b=-1\). Из первого уравнения \(b=4-2a\). Подстановка во второе даёт \(a+2(4-2a)=-1\), откуда \(a=3\), \(b=-2\).

Ответ: \(a=3,\ b=-2\).