Вариант 1, Часть I, C2. Моторная лодка прошла 28 км против течения реки и 16 км по течению реки, затратив на весь путь 3 ч. Какова скорость лодки в стоячей воде, если известно, что скорость течения реки равно 1 км/ч.?

Решение:

Пусть \( v \) — скорость лодки в стоячей воде (км/ч), а \( u \) — скорость течения реки (км/ч). Известно, что \( u = 1 \) км/ч.

1. Скорость лодки против течения: \( v - u = v - 1 \) (км/ч).
2. Скорость лодки по течению: \( v + u = v + 1 \) (км/ч).
3. Время, затраченное на путь против течения: \( t_1 = \frac{28}{v - 1} \) (ч).
4. Время, затраченное на путь по течению: \( t_2 = \frac{16}{v + 1} \) (ч).
5. Общее время в пути: \( t_1 + t_2 = 3 \) ч.
6. Составим уравнение: \( \frac{28}{v - 1} + \frac{16}{v + 1} = 3 \).
7. Приведем дроби к общему знаменателю \( (v - 1)(v + 1) = v^2 - 1 \):
• \( \frac{28(v + 1)}{(v - 1)(v + 1)} + \frac{16(v - 1)}{(v + 1)(v - 1)} = 3 \)
• \( \frac{28v + 28 + 16v - 16}{v^2 - 1} = 3 \)
• \( \frac{44v + 12}{v^2 - 1} = 3 \)
8. Умножим обе части уравнения на \( v^2 - 1 \):
• \( 44v + 12 = 3(v^2 - 1) \)
• \( 44v + 12 = 3v^2 - 3 \)
9. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
• \( 3v^2 - 44v - 15 = 0 \)
10. Решим квадратное уравнение через дискриминант:
• \( D = b^2 - 4ac = (-44)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-15) = 1936 + 180 = 2116 \)
• \( \sqrt{D} = \sqrt{2116} = 46 \)
• Найдем корни:
• \( v_1 = \frac{-(-44) + 46}{2 \cdot 3} = \frac{44 + 46}{6} = \frac{90}{6} = 15 \)
• \( v_2 = \frac{-(-44) - 46}{2 \cdot 3} = \frac{44 - 46}{6} = \frac{-2}{6} = - \frac{1}{3} \)
11. Так как скорость не может быть отрицательной, отбрасываем \( v_2 \).

Ответ: 15 км/ч