Вариант 1, Часть I, С2. Моторная лодка прошла 28 км против течения реки и 16 км по течению реки, затратив на весь путь 3 ч. Какова скорость лодки в стоячей воде, если известно, что скорость течения реки равно 1 км/ч.?

Решение:

Пусть \( v \) — скорость лодки в стоячей воде (км/ч), а \( u \) — скорость течения реки. По условию \( u = 1 \) км/ч.

Скорость лодки против течения: \( v - u = v - 1 \) км/ч.

Скорость лодки по течению: \( v + u = v + 1 \) км/ч.

Время в пути против течения: \( t_{против} = \frac{28}{v-1} \) ч.

Время в пути по течению: \( t_{по} = \frac{16}{v+1} \) ч.

Общее время в пути: \( t_{против} + t_{по} = 3 \) ч.

Составим и решим уравнение:

\( \frac{28}{v-1} + \frac{16}{v+1} = 3 \)

1. Приведём дроби к общему знаменателю \( (v-1)(v+1) \):
2. \( \frac{28(v+1) + 16(v-1)}{(v-1)(v+1)} = 3 \)
3. \( \frac{28v + 28 + 16v - 16}{v^2 - 1} = 3 \)
4. \( \frac{44v + 12}{v^2 - 1} = 3 \)
5. \( 44v + 12 = 3(v^2 - 1) \)
6. \( 44v + 12 = 3v^2 - 3 \)
7. Перенесём все члены в одну сторону:
8. \( 3v^2 - 44v - 15 = 0 \)
9. Решим квадратное уравнение для \( v \) через дискриминант:
10. \( D = b^2 - 4ac = (-44)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-15) = 1936 + 180 = 2116 \)
11. \( \sqrt{D} = \sqrt{2116} = 46 \)
12. \( v_1 = \frac{-(-44) + 46}{2 \cdot 3} = \frac{44 + 46}{6} = \frac{90}{6} = 15 \)
13. \( v_2 = \frac{-(-44) - 46}{2 \cdot 3} = \frac{44 - 46}{6} = \frac{-2}{6} = -1/3 \)
14. Так как скорость лодки не может быть отрицательной, второй корень не подходит.

Ответ: Скорость лодки в стоячей воде равна 15 км/ч.