Вариант 1. Даны точки A(-1;5;3), B(7;-1;3), C(3;-2;6). а) Докажите, что треугольник АВС прямоугольный. б) Найдите длину медианы треугольника, проведенной из вершины прямого угла.

a) Вычислим квадраты длин сторон: $$AB^2 = (7-(-1))^2 + (-1-5)^2 + (3-3)^2 = 8^2 + (-6)^2 + 0^2 = 64 + 36 = 100$$.
$$BC^2 = (3-7)^2 + (-2-(-1))^2 + (6-3)^2 = (-4)^2 + (-1)^2 + 3^2 = 16 + 1 + 9 = 26$$.
$$AC^2 = (3-(-1))^2 + (-2-5)^2 + (6-3)^2 = 4^2 + (-7)^2 + 3^2 = 16 + 49 + 9 = 74$$.
Так как $$AB^2 = BC^2 + AC^2$$ (100 = 26 + 74), треугольник ABC прямоугольный (прямой угол в вершине C).
b) Медиана, проведенная из вершины прямого угла C, соединяет C с серединой гипотенузы AB. Длина медианы равна половине гипотенузы AB. Медиана = $$\frac{\sqrt{100}}{2} = 5$$.