Вариант 1. Даны точки A(2;1;-8), B(1;-5;0), C(8;1;-4). а) Докажите, что треугольник АВС равнобедренный. б) Найдите длину средней линии треугольника, соединяющей середины боковых сторон.

a) Вычислим длины сторон: $$AB = \sqrt{(1-2)^2 + (-5-1)^2 + (0-(-8))^2} = \sqrt{1+36+64} = \sqrt{101}$$.
$$BC = \sqrt{(8-1)^2 + (1-(-5))^2 + (-4-0)^2} = \sqrt{49+36+16} = \sqrt{101}$$.
$$AC = \sqrt{(8-2)^2 + (1-1)^2 + (-4-(-8))^2} = \sqrt{36+0+16} = \sqrt{52}$$.
Так как AB = BC, треугольник ABC равнобедренный.
b) Средняя линия, соединяющая середины боковых сторон AB и BC, параллельна AC и равна половине AC. Длина средней линии = $$\frac{\sqrt{52}}{2} = \sqrt{13}$$.