Вариант 2. Даны точки А(1;6;0) и В(5;2;8). а) На оси абсцисс найдите точку С, равноудаленную от точек А и В. б) Найдите площадь треугольника АВС.

a) Точка C на оси абсцисс имеет координаты (x, 0, 0).
$$AC^2 = (x-1)^2 + (0-6)^2 + (0-0)^2 = (x-1)^2 + 36$$.
$$BC^2 = (x-5)^2 + (0-2)^2 + (0-8)^2 = (x-5)^2 + 4 + 64 = (x-5)^2 + 68$$.
Приравниваем $$AC^2 = BC^2$$: $$(x-1)^2 + 36 = (x-5)^2 + 68$$.
$$x^2 - 2x + 1 + 36 = x^2 - 10x + 25 + 68$$.
$$-2x + 37 = -10x + 93$$.
$$8x = 56$$, $$x = 7$$.
Точка C: (7, 0, 0).
b) Площадь треугольника ABC можно найти как половину модуля векторного произведения векторов AB и AC.
$$\vec{AB} = (5-1, 2-6, 8-0) = (4, -4, 8)$$.
$$\vec{AC} = (7-1, 0-6, 0-0) = (6, -6, 0)$$.
$$\vec{AB} \times \vec{AC} = ((-4)(0) - (8)(-6), (8)(6) - (4)(0), (4)(-6) - (-4)(6)) = (0 + 48, 48 - 0, -24 + 24) = (48, 48, 0)$$.
Площадь = $$\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} \sqrt{48^2 + 48^2 + 0^2} = \frac{1}{2} \sqrt{2 imes 48^2} = \frac{1}{2} imes 48\sqrt{2} = 24\sqrt{2}$$.