Вариант 2. Даны точки A(-1;5;3), B(-3;7;-5), C(3;1;-5). а) Докажите, что треугольник АВС равнобедренный. б) Найдите длину средней линии треугольника, соединяющей середины боковых сторон.

a) Вычислим длины сторон: $$AB = \sqrt{(-3-(-1))^2 + (7-5)^2 + (-5-3)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + (-8)^2} = \sqrt{4+4+64} = \sqrt{72}$$.
$$BC = \sqrt{(3-(-3))^2 + (1-7)^2 + (-5-(-5))^2} = \sqrt{6^2 + (-6)^2 + 0^2} = \sqrt{36+36} = \sqrt{72}$$.
$$AC = \sqrt{(3-(-1))^2 + (1-5)^2 + (-5-3)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2 + (-8)^2} = \sqrt{16+16+64} = \sqrt{96}$$.
Так как AB = BC, треугольник ABC равнобедренный.
b) Средняя линия, соединяющая середины боковых сторон AB и BC, параллельна AC и равна половине AC. Длина средней линии = $$\frac{\sqrt{96}}{2} = \frac{4\sqrt{6}}{2} = 2\sqrt{6}$$.