Вариант 1. Решить треугольник (найти его неизвестные элементы): А) a=5, β=30°, γ=45°; Б) a=12, b=8, γ=60°; В) a=2, b=3, c=4.

А) Сумма углов треугольника равна 180°: α=180°−30°−45°=105°. По теореме синусов: b=a·sinβ/sinα, c=a·sinγ/sinα.

b=5·sin30°/sin105°=5(√6−√2)/2≈2,59.

c=5·sin45°/sin105°=5(√3−1)≈3,66.

Ответ: α=105°, b≈2,59, c≈3,66.

Б) По теореме косинусов для угла γ между сторонами a и b: c²=a²+b²−2ab·cosγ=144+64−192·0,5=112, поэтому c=4√7≈10,58.

По теореме синусов sinα=a·sinγ/c=12·(√3/2)/(4√7)=3√21/14, откуда α≈68,2°. Тогда β=180°−60°−α≈51,8°.

Ответ: c=4√7≈10,58, α≈68,2°, β≈51,8°.

В) Проверим неравенство треугольника: 2+3=5>4, значит треугольник существует. По теореме косинусов:

cosα=(b²+c²−a²)/(2bc)=(9+16−4)/24=7/8, поэтому α≈29,0°.

cosβ=(a²+c²−b²)/(2ac)=(4+16−9)/16=11/16, поэтому β≈46,6°.

γ=180°−α−β≈104,4°.

Ответ: α≈29,0°, β≈46,6°, γ≈104,4°.