Вариант 1. Решить уравнения: 1) \(\sin^2 x-2\cos x+2=0\); 2) \(\sin x\cos x+2\sin^2 x=\cos^2 x\); 3) \(3\sin^2 x-4\sin x\cos x+5\cos^2 x=2\).

1) Используем тождество \(\sin^2x=1-\cos^2x\):

\(1-\cos^2x-2\cos x+2=0\), откуда \(\cos^2x+2\cos x-3=0\).

Разложим на множители: \((\cos x-1)(\cos x+3)=0\). Значение \(\cos x=-3\) невозможно, поэтому \(\cos x=1\).

Ответ: \(x=2\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).

2) При \(\cos x=0\) исходное уравнение не выполняется. Поэтому делим обе части на \(\cos^2x\) и обозначаем \(t=\tan x\):

\(t+2t^2=1\), то есть \(2t^2+t-1=0\). Отсюда \((2t-1)(t+1)=0\), значит, \(t=\frac12\) или \(t=-1\).

Ответ: \(x=\arctan\frac12+\pi k\) или \(x=-\frac{\pi}{4}+\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).

3) При \(\cos x=0\) левая часть равна 3, поэтому уравнение не выполняется. Делим на \(\cos^2x\) и обозначаем \(t=\tan x\):

\(3t^2-4t+5=2(1+t^2)\), откуда \(t^2-4t+3=0\). Тогда \((t-1)(t-3)=0\), следовательно, \(t=1\) или \(t=3\).

Ответ: \(x=\frac{\pi}{4}+\pi k\) или \(x=\arctan 3+\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).