Вариант 1. В1. Точки P, K, L, M — середины сторон ромба ABCD. Докажите, что четырёхугольник PKLM — прямоугольник.

Пусть P, K, L, M — середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно.

1. В треугольнике ABC отрезок PK соединяет середины двух сторон, поэтому PK ∥ AC.
2. В треугольнике CDA отрезок LM соединяет середины двух сторон, поэтому LM ∥ AC. Значит, PK ∥ LM.
3. Аналогично KL ∥ BD и MP ∥ BD, поэтому KL ∥ MP. Следовательно, PKLM — параллелограмм.
4. Диагонали ромба AC и BD перпендикулярны. Так как PK ∥ AC и KL ∥ BD, то PK ⟂ KL.
5. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.

Что и требовалось доказать.