Вариант 2. 1. Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 36 см.

Пусть \(AB=a\), а \(AD=BC=b\). Так как M лежит на BC, рассмотрим треугольники ABM и DCM.

AM — биссектриса угла A, поэтому ∠BAM = ∠MAD. Поскольку MB ∥ AD, ∠AMB = ∠MAD. Значит, ∠BAM = ∠AMB, и в треугольнике ABM противоположные этим углам стороны равны: AB = BM.

Пусть ∠DAB = α. Тогда ∠CDA = 180° − α. DM — биссектриса угла D, поэтому ∠CDM = (180° − α)/2. Кроме того, ∠DCM = α, так как CD ∥ AB и CM ∥ AD. Тогда ∠DMC = 180° − α − (180° − α)/2 = (180° − α)/2. Следовательно, ∠CDM = ∠DMC, откуда DC = CM.

Так как DC = AB, а CM = BM, получаем BM = CM = AB. Поэтому BC = BM + CM = 2AB. Значит, AD = BC = 2AB.

По условию \(2(AB+AD)=36\), то есть \(AB+AD=18\). Подставляем \(AD=2AB\): \(3AB=18\), откуда AB = 6 см и AD = 12 см. Противоположные стороны равны.

Ответ: AB = CD = 6 см; AD = BC = 12 см.